239 REPERTORIO AMERICANO utilidad práctica tan definida, no es dable evitar cido estas dificultades; en cada época los intelectos muestra la unidad de todos los estudios mateesto; pero tan pronto como sea posible debe expo más sutiles se han esforzado, en vano, por res máticos.
ner el maestro las razones de las reglas, empleando ponder las aparentemente incontestables preguntas En la gran mayoría de los textos para el estupara ello los medios que más fácilmente comprenda que hizo Zenón eleata. Hasta que, por fin, dio de la matemática hay una falta total de unila mentalidad infantil. En geometría, en vez del George Cantor ha hallado la respuesta, y ha dad metodologica, y de desarrollo sistemático de tedioso aparato. con que, se logran pruebas falsas conquistado así, para el intelecto, una provincia un tema central. Se emplean medios cualesquiera, de perogrulladas obvias. que eso es el comienzo nueva y vasta don de rèinaran el Caos y la antigua con tal que parezcan los más inteligibles, para prode Euclides, se le debe permitir al estudiante Noche. Asumíase como cosa evidente de por sí, bar proposiciones de diversa índole, y se dedica que asuma la verdad de cuanto es obvio, y se le hasta que Dedekind estableció lo contrario, que demasiado espacio a meras curiosidades que de debe instruir en las demostraciones de teoremas que si, de una colección de cosas, quitamos algunas, modo ninguno contribuyen al argumento princisean sorprendentes a la vez que fáciles de com el número de las restantes sería menor que el que pal. Pero en las más grandes obras de matemáprobar mediante dibujos: Teoremas como aquellos había antes de hacer esa operación de resta. Esta tica, se siente la unidad y la inevitabilidad como en los que se demuestra que tres o más líneas se asunción, sin embargo, es cierta sólo con referen en el desarrollo de un drama: En las premisas se juntan en un punto. Así se fomenta la fe; se ve cia a colecciones o grupos finitos; y su negación, propone a la consideración un problema, y en ca. que el razonamiento, puede llevar a conclusiones en lo tocante a lo infinito, se ha demostrado que da paso que se da hacia su resolución se avanza que por sorprendentes que sean, la realidad visible quita todas las dificultades que antaño dejaban inequívocamente hasta llegar al dominio de su puede comprobar; y así la desconfianza instintiva perpleja a la razón humana a este respecto, y naturaleza. El amor del sistema, el amor de la de cuanto es abstracto o racional, se vence gra hace posible la creación de una ciencia exacta del interconexión, que es quizás la esencia más honda dualmente. Cuando los teoremas son difíciles, infinito. Este estupendo descubrimiento debe del impuso intelectual, puede hallar, como en ninse les debe enseñar primero como ejercicios de revolucionar la enseñanza de la alta matemática; guna otra esfera, holgura de acción en la matedibujo geométrico, hasta que la figura le sea de por sí ha enaltecido grandemente el valor mática. Al estudiante a quien anima este impulso enteramente familiar al estudiante; entonces será educativo de todos los estudios matemáticos, y nos no debe atontársele con un ejército de ejemplos un paso agradable aprender las conexiones lógicas. ha facilitado por fin los medios para que trate faltos de significación ni debe distraersele ni desde las varias rectas o curvas que ocurran. Es. mos con precisión lógica muchos estudios que, carriársele con rarezas divertidas; se le debe deseable, también, que la figura que ilustre un hasta recientemente, estaban envueltos en false alentar, más bien, a fijarse en principios centeorema se la dibuje en todos los casos y formas dad y oscurana. Pero a quienes se les educó a trales, a familiarizarse con la estructura de vaposibles, para que las relaciones abstractas de que la manera antigua, la nueva labor les parece aplas. rios problemas que le sean presentados, a conduse ocupa la geometria surjan por sí mismas como tantemente difícil, abstrusa, y oscura; y debe con cirse con soltura entre los pasos de las más imresiduo de similitud en medio a tan grande diver fesarse que su descubridor él mismo, como es el portantes deducciones. De este modo se cultiva.
sidad aparente. De este modo las demostraciones caso tan amenudo, apenas si ha salido de entre las un buen tono mental, a la atención selectiva se abstractas formarán sólo una pequeña parte de la nieblas que la luz de su intelecto está dispersando. la educa a fijarse de preferencia en lo que es de instrucción, y deben darse cuando el estudiante, Pero inherentemente, la nueva doctrina del infi peso y de esencial valor.
ya familiarizado por medio de ilustraciones con nito le ha facilitado a toda mentalidad candida e Cuando se contemplan los estudios separados cretas, tenga el convencimiento de que encarnan investigadora, la maestría de la alta matemática; en que se divide la matemática cada uno como un verdades que la realidad visible comprueba. En porque antaño era necesario aprender, por un largo todo lógico, como un desarrollo o brote natural tan temprana etapa de la enseñanza las pruebas procedimiento de sofistiquería, a aceptar argu de las proposiciones que constituyen sus princino deben darse con plenitud pedante; los métodos mentos que, a primera vista, correctamente juz pios, el estudiante podrá comprender la ciencia definidamente falsos, como el de la superposición, gamos confusos y erróneos. De manera que, lejos fundamental que unifica y sistematiza el todo del deben excluirse rígidamente desde el principio; de producir una imperterrita fe en la razón, una razonamiento deductivo. Esta ciencia es la Lógica pero en aquellos casos en los que, sin tales métodos, atrevida actitud de rechazo de cuanto no se ciñe Simbólica, estudio que, aún cuando debe su incepla prueba sería muy difícil, debe hacerse acepta a los requisitos más estrictos de la lógica, la ense ción a Aristóteles, es sin embargo, en la mayor ble el resultado por medio de argumentos y de ñanza de las matemáticas, durante los dos últimos amplitud de su desarrollo, producto, casi por enilustraciones que contrasten explícitamente con siglos, impulsó la creencia de que muchas cosas tero, del siglo diecinueve que en el nuestro sigue las demostraciones.
que una investigación rígida rechazaría por fal creciendo con asombrosa rapidez. El verdadero En el comienzo del álgebra, hasta el niño más sas, había sin embargo que aceptarlas porque método de descubrimiento en la Lógica Simbólica, inteligente halla, por regla general, dificultad resultaban en lo que los matemáticos llaman la. y quizás el método mejor para iniciar en su estuEl empleo de letras es un misterio que práctica. Así, donde la, razón ella sola debió dio a los estudiantes ya conocedores de las otras no parece tener otro fin que el de mixtificar. Es sentarse en trono absoluto, se permitió que alzara ramas de la matemática, es el análisis de ejemplos casi imposible, al principio, no pensar que cada cabeza y obtuviera mando un espíritu tímido y efectivos de razonamientos deductivos con la mira letra representa un número dado, un número que convenienciero, o bien una fe sacerdotal en mis de descubrir los principios. empleados. Estos el maestro sabe y que sabríamos si nos lo dijese. terios ininteligibles para los profanos. Ya es principios, en su mayor parte, están arraigados El caso es que en el álgebra se le enseña a la mente tiempo de barrer con eso: Enséñese de una vez tan hondamente en nuestros instintos de racioci.
a considerar por vea primera verdades generales, a quienes desean penetrar en el arcano de la mate nio, que se les emplea de manera perfectamente verdades que lo son no sólo con respecto de una mática, la teoría verdadera en toda su pureza inconsciente, y se les puede sacar a la luz sólo u otra cosa dada, sino que de cualquiera de las que lógica y en la concatenación establecida por la mediante grandes y pacientes esfuerzos.
Pero, forman todo un grupo de cosas. En la facultad esencia misma de las entidades de que se trate. cuando por fin los hemos descubierto, vemos que de comprender y de descubrir tales verdades re Si consideramos la matemática como fin en si son un corto número, y que constituyen la base side el poder del intelecto sobre cuanto es real misma en vez de como una disciplina técnica para única de cuanto hay en la matemática pura. El o posible; y la habilidad para dominar lo general los ingenieros, es muy deseable guardar la pureza. descubrimiento de que toda la matemática surge como general, que no como conjunto de casos y lo estricto de su razonamiento. Por consiguiente, inevitablemente de una exigua colección de leyes particulares, es uno de los dones que la educación a aquellos que han logrado una suficiente fami fundamentales, realza inconmensurablemente la en la matemática debe de conceder. Pero, gene liaridad con sus partes más fáciles, debe hacér belleza intelectual del todo; a quienes se han senralmente. de qué manera tan poco satisfactoria, seles retroceder, de las proposiciones a las que han tido atormentados por la naturaleza fragmentaria tan poco inteligente, puede el maestro de álgebra dado su asentimiento, hacia principios más y más e incompleta de casi todos los encadenamientos explicar el abismo que la divide de la aritmética; fundamentales, de los cuales puedan deducirse de la deducción, este descubrimiento les llega con y en sus esfuerzos por entender, cómo va el estu las que habían parecido premisas anteriormente. la fuerza todadominante de una revelación; como diante dando tropezones sin recibir más que la Habrá que enseñarles lo que la teoría de la infi un palacio que emerge de entre las neblinas del más ligera ayuda! Porque generalmente se sigue nidad ilustra con claridad: Que muchas proposi otoño al ascender el viajero una colina de Italia, en el álgebra el método que se ha adoptado para ciones que para la mentalidad ineducada parecen asi los majestuosos pisos del edificio de la matela enseñanza de la aritmética: Se dan ciertas reglas evidentes en sí, resultan falsas, cuando las some mática aparecen en su debido orden y en su justa sin explicar su fundamento; el estudiante las temos a un escrutinio más severo. Así se les guiará proporción, con una nueva perfección visible aprende ciegamente, y con el tiempo, cuando ya a una investigación escéptica de los primeros en cada parte, puede obtener las respuestas que el maestro quiere, principios, a un examen de las bases sobre las que Hasta adquirir la Lógica Simbólica su desase siente como si hubiera dominado las dificulta está fundado el edificio todo del razonamiento, rrollo actual, los principios sobre los que descansa des de la asignatura. De la comprensión interior o, para emplear una metáfora más adecuada, al la matemática se creia que eran filosóficos, y descude los procedimientos empleados, lo más probable gran tronco del que brotaron las extendidas ra bribles sólo por los métodos inciertos e improgrees que casi no haya adquirido nada.
mas. En llegando a esta etapa, es bueno estudiat sivos empleados por los filósofos anteriores a Cuando se ha aprendido álgebra, todo va como de nuevo las partes elementales de la matemática, nuestros días. Mientras perduró esta creencia, en rieles y sobre ruedas hasta que llegamos a no para sólo preguntar si es cierta o no una pro la matemática no parecia autónoma sino depenaquellos estudios en los que se emplea la noción posición dada, sino para también investigar cómo diente de un estudio que poseía métodos propios de la infinidad. en el cálculo infinitesimal y en tal proposición crece de lo principios centrales enteramente distintos de los suyos. Además, puestodas las altas matemáticas. La solución de las de la lógica. En nuestra época ya nos es dado to que la naturaleza de los postulados de que se dificultades que anteriormente rodeaban al infi resolver estos problemas con una seguridad y una deducen la aritmética, el análisis y la geometría, nito matemático es probablemente el mayor triunfo precisión que anteriormente eran del todo impo estaba envuelta. en las oscuridades tradicionales de que puede enorgullercerse nuestra época. Desde sibles; y en el engranaje del razonamiento que la de las discusiones metafísicas, el edificio construido los comienzos del pensamineto griego se han cono solución de esos problemas requiere, por fin se sobre tan dudoso fundamento comenzaba a juzenorme. Este documento es propiedad de la Biblioteca electronica Scriptorium de la Universidad Nacional, Costa Rica